Sono 23 le definizioni in Euclide, tipo 'Il punto è ciò che non ha parti'.
Negli Elementi non viene esplicitamente dichiarato il 'corretto modo di ragionare'. Si intendeva quello comune, presumibilmente basato sulla logica aristotelica, che al tempo in cui Euclide componeva gli Elementi era stata codificata da circa un secolo.
Gli assiomi in Euclide sono di due tipi: i 5 postulati, relativi agli oggetti geometrici, ad esempio il famoso postulato delle parallele, che Euclide enuncia così:
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se una retta a incide su due rette b e c formando da uno stesso lato angoli interni la cui somma è minore di due angoli retti, allora le due rette b e c prolungate indefinitamente si incontreranno da quel lato dove giacciono i due angoli interni minori di due angoli retti |
In particolare Kurt Gödel ha dimostrato nel 1931 che ogni sistema assiomatico sufficientemente ampio da comprendere la somma e la moltiplicazione dei numeri interi (cioè l'aritmetica) è intrinsecamente incompleto, nel senso che è possibile trovare nel sistema delle affermazioni vere che hanno la (sinistra?) caratteristica di essere indimostrabili, cioè che non possono essere dimostrate vere utilizzando i soli assiomi e le regole di inferenza del sistema. La verità di tali affermazioni può essere dimostrata solo al di fuori del sistema assiomatico.
Con questo altisonante nome si intende il seguente teorema, del quale non darò la dimostrazione:
| Ogni numero naturale si può scrivere come prodotto di numeri primi e tale prodotto (a meno dell'ordine dei fattori) è unico. |