Gli Elementi si dividono in 13 libri: libri 1-6, geometria piana; libri 7-9, teoria dei numeri; libro 10: teoria (di Eudosso) dei numeri irrazionali; libri 11-13, geometria solida.
Sono 23 le definizioni in Euclide, tipo 'Il punto è ciò che non ha parti'.
Negli Elementi non viene esplicitamente dichiarato il 'corretto modo di ragionare'. Si intendeva quello comune, presumibilmente basato sulla logica aristotelica, che al tempo in cui Euclide componeva gli Elementi era stata codificata da circa un secolo.
Gli assiomi in Euclide sono di due tipi: i 5 postulati, relativi agli oggetti geometrici, ad esempio il famoso postulato delle parallele, che Euclide enuncia così:
se una retta a incide su due rette b e c formando da uno stesso lato angoli interni la cui somma è minore di due angoli retti, allora le due rette b e c prolungate indefinitamente si incontreranno da quel lato dove giacciono i due angoli interni minori di due angoli retti
In particolare Kurt Gödel ha dimostrato nel 1931 che ogni sistema assiomatico sufficientemente ampio da comprendere la somma e la moltiplicazione dei numeri interi (cioè l'aritmetica) è intrinsecamente incompleto, nel senso che è possibile trovare nel sistema delle affermazioni vere che hanno la (sinistra?) caratteristica di essere indimostrabili, cioè che non possono essere dimostrate vere utilizzando i soli assiomi e le regole di inferenza del sistema. La verità di tali affermazioni può essere dimostrata solo al di fuori del sistema assiomatico.
Con questo altisonante nome si intende il seguente teorema, del quale non darò la dimostrazione:
Si ritiene che quasi tutto il materiale raccolto negli Elementi sia lavoro originale di altri autori, anche se alcune dimostrazioni si devono ad Euclide stesso. Senz'altro si deve a lui l'organizzazione e la mirabile chiarezza dell'opera.
L'influsso esercitato dagli Elementi è enorme: basti pensare che si tratta del secondo libro più stampato di ogni tempo, dopo la Bibbia!
e le 5 nozioni comuni, di tipo più generale, ad esempio 'il tutto è maggiore della parte' (tra parentesi, questo è quanto verrà negato da Cantor, nel suo studio degli insiemi infiniti).
Ogni numero naturale si può scrivere come prodotto di numeri primi e tale prodotto (a meno dell'ordine dei fattori) è unico.
Tra parentesi, direi che il numero 1 non viene considerato primo perché altrimenti verrebbe a cadere l'unicità di questa fattorizzazione.
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