Insiemi numerabili

Uno dei primi risultati ottenuti da Cantor nella sua investigazione del concetto di infinito è la dimostrazione della numerabilità dell'insieme dei numeri razionali. Vediamo cosa vuol dire questa strana cosa, partendo proprio dall'inizio. (In questa sezione considererò elementari i concetti di insieme e di appartenenza ad un insieme. Altri concetti verranno di volta in volta chiariti con delle note.)

Concetto di numerabilità

Consideriamo un insieme finito F ed un suo sottoinsieme proprio A. È ovvio che A 'contiene meno elementi' di F, cosa che si indica con:

Questa ovvietà non è più tale, anzi in un ben preciso senso è falsa, quando si parla di insiemi che contengono un numero infinito di elementi (e qui si nega la 'nozione comune' di Euclide per cui 'il tutto è maggiore della parte'). Consideriamo ad esempio l'insieme dei numeri naturali (0,1,2,3,...). Non esiste alcun numero finito che rappresenti la cardinalità di e si adotta allora per questo concetto il simbolo (aleph zero, dove 'aleph' è la prima lettera dell'alfabeto ebraico. Il motivo per cui non si utilizza il 'normale' simbolo di infinito apparirà chiaro in seguito, quando si parlerà degli insiemi non numerabili). Si pone quindi, per definizione:

card() = .

Consideriamo ora un sottoinsieme proprio di , ad esempio l'insieme A dei quadrati. È ovvio che anche A contiene infiniti elementi, anche se non TUTTI i numeri interi sono in A. Basandosi sul fatto che ad ogni n si può associare uno ed un solo aA, e precisamente tramite la relazione a=n², Cantor conclude che l'insieme dei quadrati è equivalente a quello dei numeri naturali, cioè pone:

card(A)=.

In generale, Cantor considera un insieme infinito A equivalente ad un altro insieme infinito B, quando ad ogni elemento di A è possibile far corrispondere uno ed un solo elemento di B (cioè quando esiste una relazione biunivoca tra A e B). In particolare, Cantor considera un insieme infinito A equivalente all'insieme infinito dei numeri naturali , quando ad ogni elemento di A è possibile far corrispondere uno ed un solo elemento di . Quando esiste una tale relazione biunivoca tra gli elementi di A e gli elementi di si dice che l'insieme A è numerabile. (Si considera numerabile anche un insieme finito).

È un gioco da ragazzi dimostrare che, ad esempio, l'insieme dei numeri pari è numerabile, come pure quello dei numeri primi o l'insieme dei numeri relativi (positivi e negativi) o - in generale - ogni sottoinsieme di .

Numerabilità dell'insieme dei numeri razionali

Viene da chiedersi se esistono insiemi NON numerabili. Un primo candidato naturale sembra essere l'insieme dei numeri razionali, cioè dei numeri della forma m/n, con m ed n interi (ed n diverso da zero). In effetti tra due numeri razionali qualsiasi esistono infiniti altri numeri razionali, proprietà questa non condivisa né dall'insieme dei numeri naturali né da alcun suo sottoinsieme.

Ora, anche se sembra contenere 'molti' più elementi di , Cantor riesce a dimostrare che in effetti:

card() = .

Per la dimostrazione originale di Cantor, vedi qui, dove c'è quella strana tabella piena di frecce. Io propongo un mio modo (credo semplice) di dimostrare questo fatto. Se associo al numero razionale m/n il numero intero che si ottiene facendo seguire alla rappresentazione decimale di 'm' un 'A' e poi la rappresentazione decimale di 'n' (ad esempio, a 17/8 associo 17A8), rappresento ogni numero razionale con un numero intero scritto in notazione esadecimale, e sono anche certo che a razionali diversi associo interi diversi. Ora ho posto in relazione biunivoca con un sottoinsieme proprio S di . Per la precisione, S è composto da quegli interi che nella loro rappresentazione esadecimale hanno solo cifre più un unico 'A' (che non deve stare né al primo né all'ultimo posto). È evidente che S, essendo un sottoinsieme di , è numerabile. Quindi anche l'insieme dei numeri razionali, equivalente ad S, è numerabile.

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