Un insieme si dice finito quando contiene un numero finito di elementi.
Un sottoinsieme A di F è un insieme che contiene alcuni elementi di F. A si dice proprio quando almeno un elemento di F non appartiene ad A, e quindi quando A non è uguale ad F.
Per un insieme finito, con card(F) si indica il numero degli elementi di F. 'Card' sta per cardinalità.
Si dice che un insieme è equivalente (o anche equipotente) ad un altro quando entrambi hanno la stessa cardinalità. Per insiemi finiti questo vuol dire avere lo stesso numero di elementi.
Per convincersene basta osservare che la media m di due razionali a e b con a<b è ancora un razionale con a<m<b.
Potrei prendere solo m ed n primi fra di loro, per contare un numero razionale una sola volta, ma questo complicherebbe un po' il discorso seguente, quindi lascio perdere. Anzi, approfitto di questo fatto per osservare che in questo modo conto ogni numero razionale una infinità numerabile di volte (cioè conto m/n, 2m/2n, 3m/3n... come se fossero numeri diversi). Non importa, anche questo insieme è numerabile.
In generale, l'unione di una infinità numerabile di insiemi numerabili è essa stessa numerabile.
Anche una qualunque altra rappresentazione andrebbe bene, non solo la
decimale, ovviamente.
Occorre naturalmente prestare attenzione a come
sostituire il segno di frazione. Lo si deve sostituire con un simbolo di una
rappresentazione diversa da quella usata.
Questo non sarebbe vero se non 'sostituissi' al segno di frazione '/' un
'A'. In tal caso, ad esempio, 178 potrebbe rappresentare 1/78, 17/8 e 178
stesso. Nella rappresentazione in oggetto, invece, questi tre razionali
distinti vengono associati rispettivamente a 1A78, 17A8 e a 178A1.
Home