Quello che qui chiamo 'teorema di indecidibilità' di Gödel è quello che talvolta viene detto 'primo teorema di incompletezza' e che equivale alla Proposizione IX del lavoro originale di Gödel del 1931.
La semplificazione più importante è quella relativa al fatto che Gödel non parla di consistenza bensì di omega-consistenza. Il teorema è stato in seguito dimostrato valido anche nel caso dell'ordinaria consistenza (J. Barkler Rosser, 1936), ma questi problemi non ci interesseranno assolutamente qui. Basterà assumere come consistente un sistema formale i cui assiomi riteniamo non possano condurre a contraddizioni.
Inoltre il sistema S in oggetto deve essere abbastanza ampio da comprendere l'ordinaria aritmetica dei numeri naturali (cioè somme e moltiplicazioni di numeri interi).
Roger Penrose è uno dei fisici matematici più intelligenti e creativi attualmente in circolazione. Di questo autore consiglio vivamente il precedente La mente nuova dell'imperatore, Sansoni 1998. UN CAPOLAVORO!!!
Alan Turing (1912-1954), geniale matematico britannico.
Introdusse il suo concetto di macchina di Turing' intorno alla metà degli anni 30 in relazione ad un problema posto da Hilbert (l'Entscheidungsproblem), dimostrando che tale problema non ha soluzione. Per noi una 'macchina di Turing' sarà semplicemente un calcolatore di uso generale (in un certo senso il personal computer che stai usando nel leggere queste pagine è una realizzazione concreta di una macchina di Turing universale).
È sostanzialmente questo fatto che Penrose utilizza, nei due libri citati, per dimostrare come i tentativi di creare un calcolatore dotato di consapevolezza siano destinati a fallire.
Pierre de Fermat (1601-1665), giudice francese e matematico 'dilettante' assolutamente geniale.
L'ultimo teorema di Fermat afferma che non esistono tre numeri interi a, b e c tali che valga
Il caso generale è stato dimostrato (in un modo terribilmente complicato) da Andrew Wiles nel 1995. La storia più che tricentenaria di questo teorema è interessantissima ed è stata raccontata splendidamente da S. Singh nel bellissimo libro, consigliabile davvero a tutti, L'ultimo teorema di Fermat, Rizzoli 1997.
Vedi l'Appendice A in Ombre della mente di Penrose, che utilizza a questo scopo la macchina di Turing esplicitamente costruita in La mente nuova dell'imperatore (nell'edizione italiana di quest'ultimo testo ci sono degli errori di stampa nella specificazione numerica di questa particolare macchina di Turing, sia in base decimale che in base binaria. Questi errori non pregiudicano la comprensione del discorso di Penrose, comunque nella versione inglese del libro la specificazione della sua macchina di Turing è corretta).
In particolare in Ombre della mente gran parte del III capitolo è dedicata a questo problema.
Curioso ma vero, l'enunciato 'Io sono dimostrabile in S' è davvero dimostrabile in S! (Teorema di Loeb, 1955).