Infinità dei numeri primi
Il problema è dimostrare se esistono o no infiniti numeri primi. Euclide procede per assurdo, e dice: supponiamo che ne esistano solo in numero finito, diciamo n, e precisamente
p1, p2, p3, ..., pn.
Costruiamo il numero
P = p1p2p3... pn + 1.
Ora, o P è a sua volta primo, e quindi ne abbiamo trovato uno nuovo, o non lo è; in questo caso sarà divisibile per (almeno) un numero primo q, e q non può essere p1, infatti il resto della divisione tra P e p1 è 1. Così pure per p2, p3, ..., pn, e allora anche in questo caso abbiamo trovato un nuovo numero primo q.
In entrambi i casi, il negare la tesi (e cioè il considerare finito il numero dei primi) ci ha condotto ad una contraddizione (cioè riusciamo sempre trovare un altro primo che non avevamo considerato). Si conclude che esistono infiniti numeri primi.