Georg Cantor
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Insiemi numerabili

Uno dei primi risultati ottenuti da Cantor nella sua investigazione del concetto di infinito è la dimostrazione della numerabilità dell'insieme dei numeri razionali. Vediamo cosa vuol dire questa strana cosa, partendo proprio dall'inizio. (In questa sezione considererò elementari i concetti di insieme e di appartenenza ad un insieme. Altri concetti verranno di volta in volta chiariti con delle note.)

Concetto di numerabilità

Consideriamo un insieme finito F ed un suo sottoinsieme proprio A. È ovvio che A 'contiene meno elementi' di F, cosa che si indica con:

card(F) > card(A)

Questa ovvietà non è più tale, anzi in un ben preciso senso è falsa, quando si parla di insiemi che contengono un numero infinito di elementi (e qui si nega la 'nozione comune' di Euclide per cui 'il tutto è maggiore della parte'). Consideriamo ad esempio l'insieme FFFFFFFFF dei numeri naturali (0,1,2,3,...). Non esiste alcun numero finito che rappresenti la cardinalità di N e si adotta allora per questo concetto il simbolo aleph0 (aleph zero, dove 'aleph' è la prima lettera dell'alfabeto ebraico. Il motivo per cui non si utilizza il 'normale' simbolo di infinito infinito apparirà chiaro in seguito, quando si parlerà degli insiemi non numerabili). Si pone quindi, per definizione:

card(N) = aleph0.

Consideriamo ora un sottoinsieme proprio di N, ad esempio l'insieme A dei quadrati. È ovvio che anche A contiene infiniti elementi, anche se non TUTTI i numeri interi sono in A. Basandosi sul fatto che ad ogni nappartieneN si può associare uno ed un solo aappartieneA, e precisamente tramite la relazione a=n2, Cantor conclude che l'insieme dei quadrati è equivalente a quello dei numeri naturali, cioè pone:

card(A)=aleph0.

In generale, Cantor considera un insieme infinito A equivalente ad un altro insieme infinito B, quando ad ogni elemento di A è possibile far corrispondere uno ed un solo elemento di B (cioè quando esiste una relazione biunivoca tra A e B). In particolare, Cantor considera un insieme infinito A equivalente all'insieme infinito dei numeri naturali N, quando ad ogni elemento di A è possibile far corrispondere uno ed un solo elemento di N. Quando esiste una tale relazione biunivoca tra gli elementi di A e gli elementi di N si dice che l'insieme A è numerabile. (Si considera numerabile anche un insieme finito).

È un gioco da ragazzi dimostrare che, ad esempio, l'insieme dei numeri pari è numerabile, come pure quello dei numeri primi o l'insieme dei numeri relativi (positivi e negativi) o - in generale - ogni sottoinsieme di N.

Numerabilità dell'insieme dei numeri razionali

Viene da chiedersi se esistono insiemi NON numerabili. Un primo candidato naturale sembra essere l'insieme Q dei numeri razionali, cioè dei numeri della forma m/n, con m ed n interi (ed n diverso da zero). In effetti tra due numeri razionali qualsiasi esistono infiniti altri numeri razionali, proprietà questa non condivisa né dall'insieme dei numeri naturali né da alcun suo sottoinsieme.

Ora, anche se Q sembracontenere 'molti' più elementi di N, Cantor riesce a dimostrare che in effetti:

card(Q) = aleph0.

Per la dimostrazione originale di Cantor, vedi qui, dove c'è quella strana tabella piena di frecce. Io propongo un mio modo (credo semplice) di dimostrare questo fatto. Se associo al numero razionale m/n il numero intero che si ottiene facendo seguire alla rappresentazione decimale di 'm' un 'A' e poi la rappresentazione decimale di 'n' (ad esempio, a 17/8 associo 17A8), rappresento ogni numero razionale con un numero intero scritto in notazione esadecimale, e sono anche certo che a razionali diversi associo interi diversi. Ora ho posto in relazione biunivoca Q con un sottoinsieme proprio S di N. Per la precisione, S è composto da quegli interi che nella loro rappresentazione esadecimale hanno solo cifre più un unico 'A' (che non deve stare né al primo né all'ultimo posto). È evidente che S, essendo un sottoinsieme di N, è numerabile. Quindi anche l'insieme dei numeri razionali, equivalente ad S, è numerabile.

Un insieme si dice finito quando contiene un numero finito di elementi.

Un sottoinsieme A di F è un insieme che contiene alcuni elementi di F. A si dice proprio quando almeno un elemento di F non appartiene ad A, e quindi quando A non è uguale ad F.

Per un insieme finito, con card(F) si indica il numero degli elementi di F. 'Card' sta per cardinalità.
Si dice che un insieme è equivalente (o anche equipotente) ad un altro quando entrambi hanno la stessa cardinalità. Per insiemi finiti questo vuol dire avere lo stesso numero di elementi.
Per convincersene basta osservare che la media m di due razionali a e b con a<b è ancora un razionale con a<m<b.
Potrei prendere solo m ed n primi fra di loro, per contare un numero razionale una sola volta, ma questo complicherebbe un po' il discorso seguente, quindi lascio perdere. Anzi, approfitto di questo fatto per osservare che in questo modo conto ogni numero razionale una infinità numerabile di volte (cioè conto m/n, 2m/2n, 3m/3n... come se fossero numeri diversi). Non importa, anche questo insieme è numerabile.
In generale, l'unione di una infinità numerabile di insiemi numerabili è essa stessa numerabile.
Anche una qualunque altra rappresentazione andrebbe bene, non solo la decimale, ovviamente. Occorre naturalmente prestare attenzione a come sostituire il segno di frazione. Lo si deve sostituire con un simbolo di una rappresentazione diversa da quella usata.
Questo non sarebbe vero se non 'sostituissi' al segno di frazione '/' un 'A'. In tal caso, ad esempio, 178 potrebbe rappresentare 1/78, 17/8 e 178 stesso. Nella rappresentazione in oggetto, invece, questi tre razionali distinti vengono associati rispettivamente a 1A78, 17A8 e a 178A1.