Attualmente si formalizzano teorie degli insiemi che in qualche modo evitano gli aspetti paradossali che possono insorgere quando si utilizza la teoria 'ingenua' degli insiemi di Cantor. Nella versione originale di questa teoria un insieme viene semplicemente definito come una riunione in un tutto di oggetti separati e distinti della nostra intuizione o del nostro pensiero. In questo modo si possono però creare insiemi mostruosi, che portano immediatamente a contraddizioni.
Tipico il paradosso di Russel, che vorrebbe considerare l'insieme A di tutti gli insiemi che non contengono se stessi come elemento (un esempio di insieme che contiene se stesso come elemento potrebbe essere l'insieme delle cose pensabili, esso stesso pensabile, ma diciamo pure che per fare matematica vogliamo scartare insiemi di questo tipo). Sembra ragionevole lavorare solo insiemi che non contengono se stessi come elemento, quindi consideriamo solo A. Ora ci si domanda: A contiene se stesso come elemento? Se sì, allora no, per la sua stessa definizione... e se no, allora sì, sempre per la sua definizione... insomma, siamo inguaiati: la teoria 'ingenua' degli insiemi non può essere posta a fondamento di alcunché! Oggi si lavora con assiomatizzazioni della teoria appositamente studiate (ad esempio ZFC, vedi) per evitare l'insorgere di tali paradossi (o antinomie, come vengono di solito indicati questi paradossi).