Euclide
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Infinità delle terne pitagoriche

Il problema è dimostrare se esistono o no infinite terne di numeri interi che soddisfino la relazione:

(E1.1)

x2 + y2 = z2.

Ora, è facile convincersi che la differenza tra due quadrati consecutivi è un numero dispari: per la precisione

(n+1)2 - n2 = 2n + 1.

Ma fra gli infiniti numeri dispari, ve ne sono infiniti che sono quadrati a loro volta (banalmente, i quadrati dei numeri dispari...). Cioè, esistono infiniti m per cui è vero che

m2 = 2n + 1.

Ora, poiché 2n+1 è la differenza tra due quadrati consecutivi, possiamo scrivere

m2 = (n+1)2 - n2

e cioè esistono infiniti m dispari - e relativi n = (m2 - 1)/2 - per cui

m2 + n2 = (n+1)2.

Euclide conclude quindi che esistono infinite terne pitagoriche. Carino, no?

A prima vista sembra banalmente che esistano infinite terne pitagoriche: infatti, se x, y e z soddisfano la (E1.1), anche nx, ny ed nz (con n intero) la soddisfano. Escludiamo questa soluzione banale del nostro problema e chiediamoci se esistono infinite terne NON proporzionali tra di loro che soddisfano la nostra relazione (il che equivale, dal punto di vista geometrico, a considerare 'uguali' triangoli rettangoli simili e nel chiedersi se esistono infiniti triangoli rettangoli non simili tra di loro e con i lati tutti esprimibili da numeri interi).

Lo si vede subito dal seguente disegnino, che rappresenta un quadrato di lato n+1:

Si dimostra la seguente soluzione generale: le possibilità di formare terne pitagoriche sono esaurite da x e y della forma:

x = m2 - n2
y = 2mn

cosa che implica

z = m2 + n2

con m ed n interi positivi con m>n. Per evitare di trovare terne tra loro proporzionali occorre anche richiedere che m ed n siano primi fra loro e non entrambi dispari (ad esempio, la soluzione con m=3 ed n=1 è proporzionale a quella con m=2 ed n=1).






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