Euclide
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Euclide

Non si sa molto di questo grandissimo matematico dell'antichità, attivo in Alessandria d'Egitto: i suoi Elementi sono collocabili intorno al 300 a.C. Con tale opera nasce il cosiddetto metodo assiomatico, nel quale, oltre alle definizioni degli 'enti elementari' del sistema ed alla definizione del 'corretto modo di ragionare' (le regole di inferenza), si pongono come date delle proposizioni la cui verità viene accettata senza dimostrazione. Tali proposizioni (gli assiomi) servono come punto di partenza dal quale dimostrare in modo rigoroso (usando le regole di inferenza) tutto quanto segue (i teoremi). All'inizio di questo secolo è sorta una discussione molto approfondita sui limiti del metodo assiomatico, i cui esiti sono, a mio avviso, strabilianti.

Quando si dice 'Euclide' vien subito in mente la geometria (euclidea, appunto...), ma negli Elementi Euclide non tratta solo questa materia, bensì anche interessanti aspetti della teoria dei numeri. È sua la prima dimostrazione del teorema fondamentale dell'aritmetica, come pure dell'esistenza di un numero infinito di numeri primi e di terne pitagoriche. Quest'ultima, nella sua semplicità, dimostra meravigliosamente che bella cosa è un genio al lavoro... la consiglio vivamente! (Per queste dimostrazioni vedi la list box in alto).
Va osservato come Euclide tratti i numeri sempre da un punto di vista geometrico, e quindi conduca le sue dimostrazioni trattando segmenti. In queste pagine utilizzerò invece metodi algebrici e questo solo perché personalmente li trovo più comodi. Le versioni originali di Euclide le trovate in questo sito, davvero eccezionale.

Gli Elementi si dividono in 13 libri: libri 1-6, geometria piana; libri 7-9, teoria dei numeri; libro 10: teoria (di Eudosso) dei numeri irrazionali; libri 11-13, geometria solida.
Si ritiene che quasi tutto il materiale raccolto negli Elementi sia lavoro originale di altri autori, anche se alcune dimostrazioni si devono ad Euclide stesso. Senz'altro si deve a lui l'organizzazione e la mirabile chiarezza dell'opera.
L'influsso esercitato dagli Elementi è enorme: basti pensare che si tratta del secondo libro più stampato di ogni tempo, dopo la Bibbia!
Sono 23 le definizioni in Euclide, tipo 'Il punto è ciò che non ha parti'.
Negli Elementi non viene esplicitamente dichiarato il 'corretto modo di ragionare'. Si intendeva quello comune, presumibilmente basato sulla logica aristotelica, che al tempo in cui Euclide componeva gli Elementi era stata codificata da circa un secolo.
Gli assiomi in Euclide sono di due tipi: i 5 postulati, relativi agli oggetti geometrici, ad esempio il famoso postulato delle parallele, che Euclide enuncia così:

se una retta a incide su due rette b e c formando da uno stesso lato angoli interni la cui somma è minore di due angoli retti, allora le due rette b e c prolungate indefinitamente si incontreranno da quel lato dove giacciono i due angoli interni minori di due angoli retti

e le 5 nozioni comuni, di tipo più generale, ad esempio 'il tutto è maggiore della parte' (tra parentesi, questo è quanto verrà negato da Cantor, nel suo studio degli insiemi infiniti).
In particolare Kurt Gödel ha dimostrato nel 1931 che ogni sistema assiomatico sufficientemente ampio da comprendere la somma e la moltiplicazione dei numeri interi (cioè l'aritmetica) è intrinsecamente incompleto, nel senso che è possibile trovare nel sistema delle affermazioni vere che hanno la (sinistra?) caratteristica di essere indimostrabili, cioè che non possono essere dimostrate vere utilizzando i soli assiomi e le regole di inferenza del sistema. La verità di tali affermazioni può essere dimostrata solo al di fuori del sistema assiomatico.
Con questo altisonante nome si intende il seguente teorema, del quale non darò la dimostrazione:

Ogni numero naturale si può scrivere come prodotto di numeri primi e tale prodotto (a meno dell'ordine dei fattori) è unico.
Si definisce numero primo un numero intero maggiore di 1 che sia divisibile solo per se stesso e per l'unità: ad esempio 5 è primo, 6 no perché è divisibile - oltre che per se stesso e per l'unità - anche per 2 e per 3.
Tra parentesi, direi che il numero 1 non viene considerato primo perché altrimenti verrebbe a cadere l'unicità di questa fattorizzazione.