Questa elegante formula, dovuta ad Eulero, grande matematico svizzero del XVIII secolo, stabilisce una relazione apparentemente strabiliante tra alcune costanti di utilizzo universale: a prima vista sembra davvero molto strano che exp(ip)(un numero trascendente elevato all'unitÓ immaginaria moltiplicata per un altro numero trascendente...) possa essere uguale a -1, no?

In effetti la dimostrazione di questo fatto è piuttosto semplice (barando un po', come si vedrÓ), qualora siano noti i cosiddetti sviluppi in serie di cos x, sen x ed exp(x)che qui riporto:

Queste formule non sono temibili come sembrano; rappresentano un'approssimazione tramite funzioni polinomiali in x (sono cioè funzioni delle potenze di x) di funzioni che polinomiali non sono. La dimostrazione della validità di questi sviluppi in serie passa attraverso teoremi che utilizzano strumenti tipici del calcolo differenziale e, anche qui, il tutto sembra molto più difficile di quanto sia in realtà (tra parentesi, è abbastanza evidente che al crescere di n il valore assoluto dei singoli addendi diventi sempre più piccolo - in effetti, per n sufficientemente grande, n! cresce molto più rapidamente di x**n qualunque sia x - mentre non è affatto evidente che la somma di questi infiniti addendi, che pur singolarmente tendono a zero, converga infine verso un valore finito, e per di più proprio uguale a quello della funzione desiderata. Per dimostrare questo ci vogliono appunto i teoremi citati poco sopra).

Ora torniamo alla formula di Eulero. Osservando che   i**2n=(-1)**n è facile rendersi conto che:

Ora, la prima somma è condotta sui numeri pari e la seconda sui numeri dispari, mentre l'addendo è sempre lo stesso. Possiamo quindi scrivere, più semplicemente:

Ma questo è proprio lo sviluppo in serie di exp(ix), quindi infine possiamo scrivere (barando un po'...):

exp(ix)=cos(x)+isen(x)

che Ŕ la formula generale, dovuta appunto ad Eulero, che lega le funzioni trigonometriche ed esponenziali. Da questa, ponendo x=pi e sapendo che cos(pi)=-1 e sen(pi)=0, segue direttamente quanto volevamo dimostrare.


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